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ness256 @ ウィキ

数学メモ

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ness256

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数式お試し

a = b
\sum _{k = 1} ^{n} k + 2
E = mc^{2}
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix}
a \; bcd

行列

基本変形

  1. 二つの行（列）を入れ替える
  2. ある行（列）をn倍(n≠0)する
  3. ある行（列）に、他のある行のn倍(n≠0)を加える
「参考ページ」
行列の基本変形

低次行列の行列式

2次行列

2次行列Aが
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}
で表されるとき、その行列式|A|は
|A| = ad - bc
である。

3次行列

3次行列Aが
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\end{pmatrix}
で表されるとき、その行列式|A|は
|A| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}
. \hspace{2.5em} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}
である。
※一般の行列式の展開公式を覚えておけば、3次元行列の場合をわざわざ覚える必要はない。

行列式の展開

行列式の基本性質

 １．二つの行（列）を入れ替えた行列の行列式は元の行列の行列式の-1倍になる。
 ２．ある行（列）をn倍(n≠0)した行列の行列式は元の行列の行列式のn倍になる。
 ３．ある行（列）に、他のある行のn倍(n≠0)を加えた行列の行列式は
 　　元の行列の行列式と等しい。
 ４．二つの行（列）が等しい行列の行列式は0である。
 ５．ある行（列）が二つの数の和で表される行列の行列式は、その行（列）を
 　　それぞれの数で置き換えた行列の行列式の和に等しい（線形性がある）
 ６．ある行（列）が他のいくつかの行（列）を何倍かしたものの和である行列の
 　　行列式は0である。


証明

※基本的に困ったら展開してみればだいたい分かる。

１．となりあう行（または列）を入れ替えた場合については展開してみればすぐに分かる。
　　第i行目と第j行目を入れ替えるときにはとなりあう行の入れ替えを2(i+j)-1回行うこと
　　になることより証明できる。
２．n倍した行（列）で展開してみれば分かる
３．２、４、５を使えば分かる。
４．等しい行（列）を入れ替えた場合、１より行列式は0しかありえない。
５．その行（列）で展開してみれば分かる。
６．２、４よりすぐ分かる。

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