「数学メモ」(2011/04/11 (月) 09:11:41) の最新版変更点
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*参考ページ
[[LaTexコマンド>>http://www002.upp.so-net.ne.jp/latex/index.html]]
[[目的別 Latexドキュメント作成ガイド>http://utsukemononi.gozaru.jp/latex/index.html]]
*数式お試し
$$ a = b $$
$$ \sum _{k = 1} ^{n} k + 2 $$
$$ E = mc^{2} $$
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix} $$
$$ a \; bcd $$
*行列
**基本変形
+二つの行(列)を入れ替える
+ある行(列)をn倍(n≠0)する
+ある行(列)に、他のある行のn倍(n≠0)を加える
「参考ページ」
[[行列の基本変形>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%A4%89%E5%BD%A2]]
**低次行列の行列式
***2次行列
2次行列Aが
$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} $$
で表されるとき、その行列式|A|は
$$ |A| = ad - bc $$
である。
***3次行列
3次行列Aが
$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\end{pmatrix} $$
で表されるとき、その行列式|A|は
$$ |A| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} $$
$$ . \hspace{2.5em} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} $$
である。
※一般の行列式の展開公式を覚えておけば、3次元行列の場合をわざわざ覚える必要はない。
**行列式の展開
**行列式の基本性質
1.二つの行(列)を入れ替えた行列の行列式は元の行列の行列式の-1倍になる。
2.ある行(列)をn倍(n≠0)した行列の行列式は元の行列の行列式のn倍になる。
3.ある行(列)に、他のある行のn倍(n≠0)を加えた行列の行列式は
元の行列の行列式と等しい。
4.二つの行(列)が等しい行列の行列式は0である。
5.ある行(列)が二つの数の和で表される行列の行列式は、その行(列)を
それぞれの数で置き換えた行列の行列式の和に等しい(線形性がある)
6.ある行(列)が他のいくつかの行(列)を何倍かしたものの和である行列の
行列式は0である。
***証明
&bold(){※基本的に困ったら展開してみればだいたい分かる。}
1.となりあう行(または列)を入れ替えた場合については展開してみればすぐに分かる。
第i行目と第j行目を入れ替えるときにはとなりあう行の入れ替えを2(i+j)-1回行うこと
になることより証明できる。
2.n倍した行(列)で展開してみれば分かる
3.2、4、5を使えば分かる。
4.等しい行(列)を入れ替えた場合、1より行列式は0しかありえない。
5.その行(列)で展開してみれば分かる。
6.2、4よりすぐ分かる。
*参考ページ
[[集合と位相]]
[[LaTexコマンド>>http://www002.upp.so-net.ne.jp/latex/index.html]]
[[目的別 Latexドキュメント作成ガイド>http://utsukemononi.gozaru.jp/latex/index.html]]
*数式お試し
$$ a = b $$
$$ \sum _{k = 1} ^{n} k + 2 $$
$$ E = mc^{2} $$
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix} $$
$$ a \; bcd $$
*行列
**基本変形
+二つの行(列)を入れ替える
+ある行(列)をn倍(n≠0)する
+ある行(列)に、他のある行のn倍(n≠0)を加える
「参考ページ」
[[行列の基本変形>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%A4%89%E5%BD%A2]]
**低次行列の行列式
***2次行列
2次行列Aが
$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} $$
で表されるとき、その行列式|A|は
$$ |A| = ad - bc $$
である。
***3次行列
3次行列Aが
$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\end{pmatrix} $$
で表されるとき、その行列式|A|は
$$ |A| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} $$
$$ . \hspace{2.5em} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} $$
である。
※一般の行列式の展開公式を覚えておけば、3次元行列の場合をわざわざ覚える必要はない。
**行列式の展開
**行列式の基本性質
1.二つの行(列)を入れ替えた行列の行列式は元の行列の行列式の-1倍になる。
2.ある行(列)をn倍(n≠0)した行列の行列式は元の行列の行列式のn倍になる。
3.ある行(列)に、他のある行のn倍(n≠0)を加えた行列の行列式は
元の行列の行列式と等しい。
4.二つの行(列)が等しい行列の行列式は0である。
5.ある行(列)が二つの数の和で表される行列の行列式は、その行(列)を
それぞれの数で置き換えた行列の行列式の和に等しい(線形性がある)
6.ある行(列)が他のいくつかの行(列)を何倍かしたものの和である行列の
行列式は0である。
***証明
&bold(){※基本的に困ったら展開してみればだいたい分かる。}
1.となりあう行(または列)を入れ替えた場合については展開してみればすぐに分かる。
第i行目と第j行目を入れ替えるときにはとなりあう行の入れ替えを2(i+j)-1回行うこと
になることより証明できる。
2.n倍した行(列)で展開してみれば分かる
3.2、4、5を使えば分かる。
4.等しい行(列)を入れ替えた場合、1より行列式は0しかありえない。
5.その行(列)で展開してみれば分かる。
6.2、4よりすぐ分かる。
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